SQL シリーズ
データベース学習1 データベース導入: https://blog.yexca.net/archives/86
データベース学習2 関係モデル: https://blog.yexca.net/archives/87
データベース学習3 SQL言語: https://blog.yexca.net/archives/88
データベース学習4 関係データベース理論: この記事
データベース学習5 正規形: https://blog.yexca.net/archives/90
データベース学習6 データベース設計: https://blog.yexca.net/archives/91
データベース学習7 データベースの制御機能: https://blog.yexca.net/archives/92
関係スキーマ
関係スキーマ（リレーショナルスキーマ）は、5つの要素（5組）で構成されるものなんだ（関係名を含む）。
R<U, D, dom, F>
- R は関係名で、記号化されたタプルの意味を表すよ。
- U は属性の集合。
- 属性集合 U の中の属性はドメイン D から来ている。
- dom は属性リストからドメインへのマッピング。
- F は属性集合 U 上のデータ依存性（関数従属性）の集合。
3番目と4番目のポイントはスキーマ設計にはあまり関係ないから、普通は関係スキーマを3つの要素（三つ組）として扱うよ：R<U, F>。U 上のある関係 r が F を満たすとき、r を関係スキーマ R<U, F> の一つの関係と呼ぶんだ。
例えば：R を成績表、U を (学籍番号, 氏名, コース番号, 成績)、F を {学籍番号 → 氏名, コース番号 → コース名, (学籍番号, コース番号) → 成績} とする。
関数従属性
関数従属性は、最も重要で基本的なデータ依存性の一つだよ。
R(U) を属性集合 U 上の関係スキーマ、X、Y を U の部分集合とする。R(U) のどんな関係 r においても、r の中に X の属性値が等しいのに Y の属性値が異なる2つのタプルが存在し得ないとき、X は Y を関数的に決定する、または Y は X に関数従属していると言い、X → Y と書くよ。
- 非自明な関数従属性
X → Y だが Y ⊈ X の場合、X → Y を非自明な関数従属性と呼ぶ。普通、議論するのはこの非自明な関数従属性だよ。
- 自明な関数従属性
X → Y かつ Y ⊆ X の場合、X → Y を自明な関数従属性と呼ぶ。
- 完全関数従属性
R(U) において X → Y であり、かつ X のいかなる真部分集合 X’ に対しても X’ が Y を決定できないとき、Y は X に完全関数従属していると言い、X -F-> Y と書く。
- 部分関数従属性
X → Y だが、Y が X に完全関数従属していない場合、Y は X に部分関数従属していると言い、X -P-> Y と書く。
- 推移的従属性
R(U, F) において X → Y、Y ⊈ X、Y → Z のとき、Z は X に推移的に従属していると言うよ。
参考： Untitled Document (pop0726.github.io)
キー (码)
K を R(U, F) の属性の組み合わせとする。もし K → U であり、かつ K のいかなる真部分集合 K’ に対しても K’ が U を決定できないなら、K は R の候補キー（Candidate Key）になる。候補キーが複数ある場合は、その中から1つを主キー（Primary Key）として選ぶよ。
- 主属性と非主属性
いずれかの候補キーに含まれる属性を主属性と呼び、そうでないものを非主属性と呼ぶ。
- 外部キー (Foreign Key)
R(U) の属性または属性集合 X が R のキーではないが、別の関係のキーである場合、X を外部キーと呼ぶ。
- 超キー (Super Key)
すべての属性を表すことができる集合のこと。候補キーは最小の超キーなんだ。
- 全キー (All-Key)
すべての属性が主属性である場合のこと。
関数従属性の公理系 (Armstrong の公理系)
関係スキーマ R(U, F) において、U を属性集合、F を U 上の関数従属性の集合とすると、以下の推論規則があるよ。
- 反射律：Y ⊆ X ⊆ U ならば、X → Y は F から導かれる。
- 増強律：X → Y が F から導かれ、かつ Z ⊆ U ならば、XZ → YZ は F から導かれる。
- 推移律：X → Y と Y → Z が F から導かれるならば、X → Z は F から導かれる。
これら3つの規則から、さらに以下の規則も導き出せるんだ。
- 合併規則：X → Y かつ X → Z ならば、X → YZ は F から導かれる。
- 擬推移律：X → Y かつ WY → Z が F から導かれるならば、XW → Z は F から導かれる。
- 分解規則：X → Y かつ Z ⊆ Y ならば、X → Z は F から導かれる。
属性の閉包計算
閉包計算は候補キーを見つけるために使うよ。どうやって候補キーを選ぶかというと：
- 左側にしか現れない属性は、必ず候補キーに含まれる。
- 右側にしか現れない属性は、絶対に候補キーにはならない。
- 両方に現れる属性は、含まれるかもしれないし、含まれないかもしれない。
- どちらにも現れない属性は、必ず候補キーに含まれる。
- 確定した属性の閉包を求めて、すべての属性が導き出せればそれが候補キー。そうでなければ、可能性のある属性を組み合わせて閉包を求めていくよ。
例えば：
R<U, F>、U(A, B, C, D, E, G)、F = {AB → C, CD → E, E → A, A → G} の候補キーを求める。
- 左側にしか現れない：B, D（必ず候補キーに入る）
- 右側にしか現れない：G（絶対に入らない）
- 両方に現れる：A, C, E（わからない）
- 閉包を求める
BD → 何も導き出せない。だから、可能性のある属性を一つずつ足して閉包を求めてみる。
(BDA)+：C, E, A, G が導ける。よって ABCDEG すべて導き出せる。
(BDC)+：E, A, G が導ける。よって ABCDEG すべて導き出せる。
(BDE)+：A, G, C が導ける。よって ABCDEG すべて導き出せる。
というわけで、最終的な候補キーは {(BDA), (BDC), (BDE)} になるよ。
最小関数従属性集合を求める
最小依存集合（最小カバー）はどうやって求めるのかな？
1）右辺を単一属性にする（例えば A → BC を A → B と A → C に分ける）。
2）現在の従属性を除外してその属性の閉包を求め、冗長なものを消していく。
3）左辺を最小化する（属性を一つ隠しても、他の属性でその属性が導き出せるか確認する）。
例えば BCD で、B を隠して CD から B が導き出せるか、C を隠して BD から C が導き出せるか、D を隠して BC から D が導き出せるかを見るんだ。
例：
関係 R<U, F>、U{A, B, C, D, E, F, G}
F = {BCD->A, BC->E, A->F, F->G, C->D, A->G} の最小依存集合を求める。
解：
// (1) 右辺の分解と冗長性のチェック
(BCD)+ = BCDED
(BC)+ = BCD
(A)+ = AG
(F)+ = F
(C)+ = C
(A)+ = AFG (A->G は A->F と F->G から導けるので削除)
// (2) 左辺の最小化
BCD->A において C->D なので、BC->A に簡略化できる。
結果：
BC->A
BC->E
A->F
F->G
C->D