はじめに
日本語のタイトルを書いたけど、この記事の内容はもともと中国語がメインだったんだ。時間があればもっと書き足すかも。
問題一： https://blog.yexca.net/ja/archives/183
問題二：この記事
問題三： https://blog.yexca.net/ja/archives/188
はぁ、やる気って現実に打ち砕かれがちだよね。でも今回は落ち込んでる時間が短くて済んだし、少しずつ良くなるといいな。
この問題については、ベクトルの独立した講義内容っぽい感じ。最初はさっぱりわからなかったけど、3b1bの「線形代数の本質」を思い出して、数学でのベクトルの一般表現を考えてから少しずつ解き進められたよ。
実際、問題文にほとんど定義が書いてあるから、日本の授業で習ってなくても、その場で定義を理解して解く感じだね。これを初見で解ききれる人は本当にすごいと思う。自分はまだまだだなぁ。
あと、全部証明問題だから、過程が正しいかどうかの保証はできないから気をつけてね。
問題
Source: https://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml
題目権限は東京大学に帰属します。ここでは閲覧の便宜のために引用しており、営利目的ではありません。
$xy$ 平面内の滑らかな曲線 $\boldsymbol{p}=(p(t),q(t))(t \in [a,b])$ を考える。時刻 $t=a^{'} $ から $b^{'}$ までの $\boldsymbol{p}$ の長さ $l_{a^{'},b^{'}}$ は
$$ l_{a^{'},b^{'}} = \int_{a^{'}}^{b^{'}} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t $$と定義され、$\boldsymbol{p}$ の全長 $l_{a,b}$ を $L$ で表す。曲線 $\boldsymbol{p}$ は、$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}=(0,0)$ とはならないものとする。時刻 $a$ から $t$ までの $\boldsymbol{p}$ の長さ $l_{a,t}$ を変数 $s=s(t)$ で表すと、$\boldsymbol{p}$ を媒介変数 $s \in [0,L]$ の曲線とみることができる。そして、$s$ も時刻と呼ぶ。以下の問いに答えよ。
（１）以下の等式を示せ。
$$ \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} = 1 $$（２）$\theta = \theta(s)$ を時刻 $s$ における $\boldsymbol{p}$ の接線ベクトル $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} = (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})$ と $x$ 軸とのなす角とする。このとき、以下の等式を示せ。
$$ \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}-\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} = \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} $$以下では、曲線 $\boldsymbol{p}$ は、滑らかな閉曲線で、凸集合 $\boldsymbol{K}$ の境界となっているもの。また、$\boldsymbol{p}$ は、反時計方向に $\boldsymbol{K}$ をまわるものとする。
（３）任意の時刻 $s$ で $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \ge 0$ となることを説明せよ。
（４）$\boldsymbol{K}$ に含まれない点 $\boldsymbol{x}=(x,y)$ は、時刻 $s \in [0,L]$ および $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{K}$ の距離 $r$ によって。
$$ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} (s) + r \boldsymbol{u} (s) $$と一意に表すことができる。ここで、$\boldsymbol{u} (s)$ は、時刻 $s$ における $\boldsymbol{p}$ の単位法線ベクトルで、$\boldsymbol{K}$ の外を向いているものとする。そのような $\boldsymbol{x} = (x,y)$ に対して、以下の等式を示せ。
$$ \left | det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial r} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial r} \end{pmatrix} \right | =1 +r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} $$（５）非負実数 $D$ に対し、$K_D$ を $K$ から距離 $D$ 以内にある点の集合とする。このとき、$K_D$ の面積 $A_D = \iint_{K_D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ は、$K$ の面積 $A$ と $\boldsymbol{p}$ の全長 $\boldsymbol{L}$ を用いて
$$ A_D = A + LD + \pi D^2 $$と表せることを示せ。
日本語解答
設定の要約：$xy$ 平面上の滑らかな曲線 $\boldsymbol{p}=(p(t),q(t))(t \in [a,b])$ を考える。時刻 $t=a^{'}$ から $t=b^{'}$ までの長さ $l_{a^{'},b^{'}}$ は定義通り。全長は $L$。$s$ を弧長パラメータとすると、$\boldsymbol{p}$ を $s \in [0,L]$ の曲線として扱える。
この設定は、曲線の弧の長さをパラメータとして使う「弧長パラメータ表示 (arc length parametrization)」のことだね。これを使うと、曲線上の移動距離がそのままパラメータになるから、幾何学的な性質を考えるときにすごく便利なんだ。
第一問
問題：等式を示せ。
曲線の時刻が $t \in [a,b]$ のとき、全長 $L$ は
$$ l_{a,b} = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t $$$s$ は $a$ から $t$ までの弧長だから
$$ s = \int_{a}^{t} \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} \mathrm{d} t $$ここから、$s$ を $t$ で微分すると
$$ \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t})^2} $$$\boldsymbol{p}$ を $s$ の関数とみなし、$s$ が $t$ の関数であることを利用すると（連鎖律だね）
$$ \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} $$これを代入すると
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} &=\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t})^2} \\ &=\sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \end{align} $$$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t} \ne (0,0)$ だから $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \ne 0$。よって
$$ \sqrt{(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2} = 1 $$この証明は、弧長パラメータ表示では、曲線の速度ベクトルの大きさが常に1になることを示しているよ。
第二問
問題：$\theta = \theta(s)$ を接線ベクトルと $x$ 軸のなす角とするとき、等式を示せ。
一般的に、ベクトルの大きさを $|v|$、 $x$ 軸とのなす角を $\theta$ とすると、成分はこう書けるよね。
$$ v_x = \left | v \right | \cos(\theta) \\ v_y = \left | v \right | \sin(\theta) $$第一問から $\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} \end{vmatrix} = 1$ なので
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s} &= (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s},\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \\ &= (\cos(\theta(s)), \sin(\theta(s))) \end{align} $$各成分を $s$ で微分すると
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} &= -\sin(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} &= \cos(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align} $$これらを左辺に代入すると
$$ \begin{align} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}-\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} &= \cos(\theta(s)) \cdot \cos(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} - \sin(\theta(s)) \cdot (-\sin(\theta(s)) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}) \\ &= (\cos(\theta(s)))^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} + (\sin(\theta(s)))^2 \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}) \\ &= \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align} $$きれいに証明できたね。
第三問
問題：なぜ任意の時刻 $s$ で $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \ge 0$ となるのか説明せよ。
これは直感的には分かりやすいけど、説明が難しいね。曲線 $\boldsymbol{p}$ は滑らかな凸曲線だから、接線の方向の変化は連続的で、かつ逆戻りしない（つまり単調）。反時計回りに動いている場合、$x$ 軸とのなす角 $\theta$ は常に増加し続けることになる。だから、その微分である $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}$ は常に $0$ 以上になるんだ。
第四問
問題：点 $\boldsymbol{x}$ が法線ベクトルを用いて表されるとき、行列式の等式を示せ。
$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} s}$ は単位接線ベクトルで、$\boldsymbol{u}(s)$ は外向きの単位法線ベクトルだから、接線ベクトルを時計回りに90度回転させたものになるはず。
$$ \boldsymbol{u} (s) = (\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s},-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s}) $$$\boldsymbol{x}$ を $s$ と $r$ で偏微分すると
$$ \begin{align} \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial s} &= \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial s} + r\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial s} \\ \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r} &= \boldsymbol{u} (s) \end{align} $$各成分の偏微分を計算すると、まず $x$ については
$$ \begin{align} \frac{\partial x}{\partial s} &= \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} \\ \frac{\partial x}{\partial r} &= \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \end{align} $$$y$ については
$$ \begin{align} \frac{\partial y}{\partial s} &= \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} \\ \frac{\partial y}{\partial r} &= -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{align} $$よって行列はこうなる：
$$ \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial r} \ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial r} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix} $$
行列式を計算すると
$$ \begin{align} \det\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix} &= (\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2})(-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})-(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2})(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \\ &= -(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2 -r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s}-(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2+r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ &= -[(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s})^2+(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s})^2]-r(\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s}-\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s}) \end{align} $$第一問と第二問の結果を使うと
$$ \begin{align} \left | \det\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} + r\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} s^2} & \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} \\ \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} s} - r\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} s^2} & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} s} \end{pmatrix} \right | &= \left | -1-r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \right | \\ &= 1+r\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \end{align} $$ちなみに、ここで出てきた行列は ヤコビ行列 だね。
第五問
問題：$K_D$ の面積 $A_D$ を、もとの面積 $A$ と全長 $L$ を使って示せ。
この証明は図を描いて考えるとイメージしやすいよ。言葉で説明するのはちょっと難しいけど、だいたいこんな感じ。
青い部分が $K$ の面積 $A$。緑の部分は、曲線の各点から距離 $D$ まで法線方向に伸ばしたときにできる長方形のような部分で、その面積は全長 $L \times D$ になる。そして、図では見やすくするために大きく描いているけど、角にあるピンク色の部分は、凸で滑らかな閉曲線の場合、全部合わせるとちょうど半径 $D$ の円になるんだ。だからこの部分の面積は $\pi D^2$。
直感的には、角の部分を無限に小さくしていくと直角に近づくけど、単純に $LD$ だけだと扇形の「隙間」が計算に入らない。その全ての隙間を足し合わせると、一周分でちょうど一つの円になる、ってことだね。
だから $A_D = A + LD + \pi D^2$ となるんだ。
Wrote with ChatGPT