東京大学大学院理工学数学 2020 問題一

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はじめに

日本語のタイトルをつけたけど、この記事の内容は主に日本語じゃないよ。~~もし時間があれば追記するかもね~~

問題1：この記事

問題2： https://blog.yexca.net/ja/archives/187

問題3： https://blog.yexca.net/ja/archives/188

ここ数年、ちゃんと授業は聞いてるはずなのに、勉強で何の成果も出てない気がしてたんだ。だから、試しに問題を解いてみようと思ってね（そう、勉強はするけど問題を解かないっていう、あんまり普通じゃない状況が、当時の自分にはすごく普通に思えてたんだよね。~~多分、ただ怠けてただけだと思うけど~~）。で、いざ問題を解いてみたら、なんていうか、解けないんだよね。どう解くかを調べたら、授業でやった記憶はあるんだけど、結局ほとんど一から学び直す感じで解き終えたってわけ。

あと、解答例がないから、最初の3問はPythonで計算してみたんだ。答えは合ってるはずだけど、最後の2問は証明問題だから、証明が正しいかは保証できないな。

問題

出典: https://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

問題の著作権は東京大学のものだよ。見やすいように引用してるだけで、営利目的じゃないからね。

正方行列 $A,B$ を

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} $$

とする。また、行列 $I$ は単位行列とする。実正方行列 $X$ に対して、$\exp(X)$ を

$$ \exp(X)=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{k!}X^{k})=I+X+\frac{1}{2!}X^{2}+\frac{1}{3!}X^{3}+\cdots $$

と定義するとき、以下の問いに答えよ。

（1）$A$ の全ての固有値と、それらに対応する固有ベクトルを求めよ。ただし、固有ベクトルとして、ノルムは $1$ かつ第一要素は非負実数であるものを選べ。

（2）非負整数 $n$ に対して、$A^{n}$ を求めよ。

（3）$\exp(A)$ を求めよ。

（4）$\alpha$ を実数とするとき、$\exp(\alpha B)$ が次式のように表せることを示せ。

$$ \exp(\alpha B) = I + (\sin\alpha)B + (1-\cos(\alpha))B^{2} $$

ただし、ケーリー・ハミルトンの定理を用いてもよい。

（5）$3$ 次元実ベクトル $a$ が与えられたとき、$3$ 次元実ベクトル $x$ に関する関数 $f$ を

$$ f(x) = \sum_{k=1}^{n} \left \| \exp(\frac{2\pi k}{n}B)a - x \right \|^{2} $$

とおく。ただし、$n \ge 2$ とする。このとき、$x=(I+B^{2})a$ において $f$ が最小になることを示せ。

問題1

問題: $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよう（固有ベクトルのノルムは1で、第1要素は非負実数だよ）。

固有方程式 $\det(A-\lambda I) = 0$ を使って行列を作って、その行列式を計算するよ。固有方程式はこんな感じ。

$$ \det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix} 1-\lambda & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1-\lambda & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0 $$

1行目で展開すると、

$$ (1-\lambda)[(1-\lambda)^{2}-2]-\sqrt{2}[\sqrt{2}(1-\lambda)]=0 $$

これを解くと、

$$ \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=3 $$

次は、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めるよ。$\lambda_{1}=1$ の場合。

$$ (A-\lambda_{1}I) = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} $$

方程式 $(A-\lambda_{1}I)\mathbf{v}_{1}=0$ を解くと、固有ベクトルはこれ。

$$ \mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$

$\lambda_{2}=-1$ の場合。

$$ (A-\lambda_{2}I)=\begin{pmatrix} 2 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} $$

方程式 $(A-\lambda_{2}I)\mathbf{v}_{2}=0$ を解くと、固有ベクトルはこれ。

$$ \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} $$

$\lambda_{3}=3$ の場合。

$$ (A-\lambda_{3}I)=\begin{pmatrix} -2 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & -2 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & -2 \end{pmatrix} $$

方程式 $(A-\lambda_{3}I)\mathbf{v}_{3}=0$ を解くと、固有ベクトルはこれ。

$$ \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} $$

固有ベクトルを正規化して、まとめるとこうなるよ。

$$ \begin{align*} 固有値&: \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=3 \\ 固有ベクトル&: \mathbf{v}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_{2}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_{3}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*} $$

Pythonコード

sympyで結果を確かめてみたよ。

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import sympy as sp

# 定義行列 A
A = sp.Matrix([[1, sp.sqrt(2), 0], 
               [sp.sqrt(2), 1, sp.sqrt(2)], 
               [0, sp.sqrt(2), 1]])

# 固有値と固有ベクトルを計算
eigenvals = A.eigenvals()  # 固有値
eigenvects = A.eigenvects()  # 固有ベクトル

print(f"A の固有値は")
sp.pprint(eigenvals)
print(f"A の固有ベクトルは")
sp.pprint(eigenvects)

出力結果はこんな感じ。

UTokyo-2020-1-1

問題2

問題: $A^{n}$ を求めよう（$n$ は非負整数だよ）。

対角化の理論によると、行列 $A$ は $A=S^{-1}DS$ に分解できるんだ。問題1から、こうなるね。

$$ S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -\sqrt[]{2} & \sqrt[]{2} \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

$S$ の逆行列を計算すると、こうなるよ。

$$ S^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} $$

$D^{n}$ を計算するとこう。

$$ D^{n}=\begin{pmatrix} 1^{n} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \end{pmatrix} $$

$A^{n}=S^{-1}D^{n}S$ を解くと、

$$ A^{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}+(-1)^{n}\frac{1}{4}+\frac{3^{n}}{4} & (-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}3^{n} & -\frac{1}{2}+(-1)^{n}\frac{1}{4}+\frac{3^{n}}{4} \\ (-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}3^{n} & (-1)^{n}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}3^{n} & (-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}3^{n} \\ -\frac{1}{2}+(-1)^{n}\frac{1}{4}+\frac{3^{n}}{4} & (-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}3^{n} & \frac{1}{2}+(-1)^{n}\frac{1}{4}+\frac{3^{n}}{4} \end{pmatrix} $$

Pythonコード

sympyで結果を確かめてみたよ。

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import sympy as sp

# sqrt(2) を定義
sqrt_2 = sp.sqrt(2)

# 行列 S と S^{-1} を定義
S = sp.Matrix([[1, 1, 1],
                [0, -sqrt_2, sqrt_2],
                [-1, 1, 1]])

S_inv = sp.Matrix([
    [sp.Rational(1, 2), 0, -sp.Rational(1, 2)],
    [sp.Rational(1, 4), -sqrt_2 / 4, sp.Rational(1, 4)],
    [sp.Rational(1, 4), sqrt_2 / 4, sp.Rational(1, 4)]
])

# 対角行列 D を定義
lambda_1 = 1
lambda_2 = -1
lambda_3 = 3
D = sp.diag(lambda_1, lambda_2, lambda_3)

# n を定義
n = sp.symbols('n')

# D^n を計算
D_n = D**n

# A^n = S D^n S^{-1} を計算
A_n = S * D_n * S_inv

# 結果を出力
print(f"A^n = S D^n S^{-1} =")
sp.pprint(A_n)

出力結果はこんな感じ。

UTokyo-2020-1-2

他の解法

問題4でケーリー・ハミルトンの定理（ハミルトン–ケーリーの定理）が出てきたよね。この定理は行列の冪乗計算に使えるんだ。

問題1で固有値を求めた後、こう置いてみる。

$$ \lambda^{n} = f(\lambda)g(\lambda) +a\lambda^{2} +b\lambda +c $$

固有値を代入すると、$f(\lambda_{1})=f(\lambda_{2})=f(\lambda_{3})=0$ だから、連立方程式はこうなるよ。

$$ \left\{\begin{matrix} 1 =a+b+c \\ (-1)^{n} =a-b+c \\ 3^{n} =9a+3b+c \end{matrix}\right. $$

この連立方程式を解くと、

$$ \left\{\begin{matrix} a=\frac{(-1)^{n}+3^{n}-2}{8} \\ b=1-\frac{1+(-1)^{n}}{2} \\ c=\frac{1+(-1)^{n}}{2}-\frac{(-1)^{n}+3^{n}-2}{8} \end{matrix}\right. $$

公式 $A^{n}=f(A)g(A)+aA^{2}+bA+cI$ に代入するんだけど、$f(A)=0$ だから $A^{n}=aA^{2}+bA+cI$ になるね。

問題3

問題: $\exp(A)$ を求めよう。

問題2から $A$ は対角化できるから、

$$ \begin{align*} \exp(A)&=\exp(SDS^{-1})\\ &=I+SDS^{-1}+\frac{1}{2!}(SDS^{-1})^{2}+\frac{1}{3!} (SDS^{-1})^{3}+\cdots \\ &= I+SDS^{-1} +\frac{1}{2!}SD^{2}S^{-1}+\frac{1}{3!}SD^{3}S^{-1}+\cdots \end{align*} $$

$S$ と $S^{-1}$ を抜き出すと、

$$ \begin{align*} \exp(SDS^{-1})&=S(I+D+\frac{1}{2!}D^{2}+\frac{1}{3!}D^{3}+\cdots)S^{-1} \\ &=S\exp(D)S^{-1} \end{align*} $$

で、$D$ は対角行列だから、

$$ \exp(D)=\begin{pmatrix} e & 0 & 0 \\ 0 & e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & e^{3} \end{pmatrix} $$

$\exp(A)=S\exp(D)S^{-1}$ を求めると、

$$ \exp(A)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}e+\frac{1}{4}e^{-1}+\frac{1}{4}e^{3} & -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1}+\frac{\sqrt{2}}{4}e^{3} & -\frac{1}{2}e+\frac{1}{4}e^{-1}+\frac{1}{4}e^{3} \\ -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1}+\frac{\sqrt{2}}{4}e^{3} & \frac{1}{2}e^{-1}+\frac{1}{2}e^{3} & -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1}+\frac{\sqrt{2}}{4}e^{3} \\ -\frac{1}{2}e+\frac{1}{4}e^{-1}+\frac{1}{4}e^{3} & -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1}+\frac{\sqrt{2}}{4}e^{3} & \frac{1}{2}e+\frac{1}{4}e^{-1}+\frac{1}{4}e^{3} \end{pmatrix} $$

Pythonコード

sympyで結果を確かめてみたよ。

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import sympy as sp

# 行列 A を定義
A = sp.Matrix([[1, sp.sqrt(2), 0],
                [sp.sqrt(2), 1, sp.sqrt(2)],
                [0, sp.sqrt(2), 1]])

# exp(A) を計算
exp_A = A.exp()

# 結果を出力
print("exp(A) =")
sp.pprint(exp_A)

出力結果はこんな感じ。

UTokyo-2020-1-3

問題4

問題: $\alpha$ が実数のとき、等式を証明しよう（ケーリー・ハミルトンの定理を使ってもいいよ）。

行列 $B$ の固有方程式を求めると、

$$ \det(B-\lambda I)=\begin{pmatrix} -\lambda & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\lambda & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\lambda \end{pmatrix} = -\lambda^{3}-\lambda $$

ケーリー・ハミルトンの定理から、

$$ P(B)=-B^{3}-B=0 $$

だから、

$$ B^{3}=-B $$

これを使って、こう計算できるね。

$$ \begin{align*} B^{4}&=B^{3}B=-B^{2} \\ B^{5}&=B^{4}B=-B^{3}=B \end{align*} $$

$\exp(\alpha B)$ に代入すると、

$$ \begin{align*} \exp(\alpha B) &=I+\alpha B+\frac{1}{2!}(\alpha B)^{2}+\frac{1}{3!}(\alpha B)^{3}+\frac{1}{4!}(\alpha B)^{4}+\frac{1}{5!}（\alpha B）^{5}+\cdots \\ &=I+\alpha B+\frac{1}{2!}\alpha^{2}B^{2}-\frac{1}{3!}\alpha^{3}B-\frac{1}{4!}\alpha^{4}B^{2}+\frac{1}{5!}\alpha^{5}B+\cdots \\ &=I+(\alpha-\frac{1}{3!}\alpha^{3}+\frac{1}{5!}\alpha^{5}-\cdots)B+(\frac{1}{2!}\alpha^{2}-\frac{1}{4!}\alpha^{4}+\cdots)B^{2} \end{align*} $$

上の式を見ると、$B$ の係数は $\sin(\alpha)$ のテイラー展開、そして $B^{2}$ の係数は $1-\cos(\alpha)$ のテイラー展開になってるよね。だから、

$$ \exp(\alpha B) = I + (\sin\alpha)B + (1-\cos(\alpha))B^{2} $$

問題5

問題: 3次元実ベクトル $a$ が与えられたとき、3次元実ベクトル $x$ に関する関数 $f$ を以下のように定義するよ（公式は省略）。ただし $n \ge 2$ だ。このとき、$x=(I+B^{2})a$ のときに $f$ が最小になることを証明しよう。

問題4から $\exp(\alpha B)$ がわかるよね。これに $\alpha=\frac{2\pi k}{n}$ を代入すると、

$$ \exp(\frac{2\pi k}{n}B)=I+(\sin(\frac{2\pi k}{n}))B+(1-\cos(\frac{2\pi k}{n}))B^{2} $$

$x=(I+B^{2})a$ を $f$ に代入すると、

$$ \begin{align*} f(x)&=\sum_{k=1}^{n}\left \| [I+(\sin(\frac{2\pi k}{n}))B+(1-\cos(\frac{2\pi k}{n}))B^{2}]a - (I+B^{2})a \right \|^{2} \\ &=\sum_{k=1}^{n}\left \| [I+(\sin(\frac{2\pi k}{n}))B+(1-\cos(\frac{2\pi k}{n}))B^{2}-I-B^{2}]a \right \|^{2} \\ &=\sum_{k=1}^{n}\left \| [(\sin(\frac{2\pi k}{n}))B-(\cos(\frac{2\pi k}{n}))B^{2}]a \right \|^{2} \end{align*} $$

$f(x)$ はユークリッドノルムの2乗、つまり距離の値だから、$f(x)\ge0$ だよね。

あと、$\sin x$ と $\cos x$ の周期は $2\pi$ で、$k$ を $1$ から $n$ まで動かすのはその周期を等分してるんだ。周期内で対称な値の和は $0$ になるから、

$$ \sum_{k=1}^{n}(\sin(\frac{2\pi k}{n}))=\sum_{k=1}^{n}(\cos(\frac{2\pi k}{n}))=0 $$

だから、$x=(I+B^{2})a$ のとき $f(x)=0$ になるんだ。そして $f(x)\ge0$ なんだから、元の命題は成り立つってわけ。