问题一：本文
问题二： https://blog.yexca.net/archives/201
问题三： https://blog.yexca.net/archives/200
问题四： https://blog.yexca.net/archives/202
问题五： https://blog.yexca.net/archives/203

まえがき

本文是首次使用非母语写的文章，又因为 比较懒 没有参考其他文章，存在用词出错的可能性。

この文章は初めて母国語じゃない言語で書いて、他の文章を参考しないので、言葉遣いがてきせつではないかも。それで、参考の答えはなくて、文章の答えが自分でできたので、正しくないかも。

科学大とは東京工業大学の新しい名前で、略称が何か知らなくてこれを使った。
問題の著作権は東京科学大学に帰属します。閲覧の便宜のためにのみ引用されており、営利を目的とするものではありません。

1

以下の極限を求めよ。

a) $\lim_{x\to\infty}{ \log_e(2x+3)-\log_e(x) }$

b) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}$

c) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\cos x}{x}$

回答

a

$$a=\lim_{x \to \infty}\log_e\frac{2x+3}{x}=\lim_{x\to \infty}\log_e(2+\frac{3}{x})=\log_e2$$

b

$$\because when \space x \to 0 ,\space 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \space and \space sinx \sim x \ \therefore \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}$$

c ロピタルの定理を用いて

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3e^{3x}+sinx}{1}=3$$

2

以下の実行列の積の行列式を計算せよ。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ x & 2 & 1 \ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \ 0 & 11 & 11 \ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$

The determinant of the product of two matrices is the product of their determinants

For A

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ x & 2 & 1 \ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

The determinant of A

$$\det(A)=(-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} -0+0 =1$$

For B

$$B=\begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \ 0 & 11 & 11 \ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$

The determinant of B

$$\det(B)=(-1)^{1+1} \times 31 \times \begin{vmatrix} 11 & 11 \ 4 & 5 \end{vmatrix} -0+0 = 341$$

so

$$\det=\det(A) \times \det(B)=1 \times 341 = 341$$

3

以下の確率密度関数 $f_X(x)$ に従う連続型確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ 、累積分布関数 $F_X(x)$ を各々求めよ。ただし、$\lim_{x \to +0}x^n\log_e(x)=0$ ($n$ は 1 以上の整数) とする。

$$ F_X(x)=\left { \begin{matrix} -4x\log_e(x) & 0 \lt x \le 1 \ 0 & x \le 0 \space または \space x \gt 1 \end{matrix} \right . $$

まずは、累積分布関数を考えて

• $x \le 0$

$$F_X(x) = 0$$

• $x\gt 1$

$$F_X(x) = 1$$

• $0 \lt x \le 1$

$$\begin{align} F_X(x) &= \int_0^x(-4t\log_e(t))dt \ \end{align}$$

部分積分を用いて

$$\begin{matrix} u = \ln t & dv=4tdt \ du = \frac{1}{t}dt & v=2t^2 \end{matrix}$$

したがって

$$\begin{align} F_X(x) &=-( [2t^2\ln t]_0^x - \int_0^x 2t^2\frac{1}{t}dt ) \ &=-( 2x^2\ln x - \int_0^x 2t dt ) \ &=-( 2x^2\ln x - t^2\mid_0^x ) \ &=x^2 - 2x^2\ln x \end{align}$$

これより

$$ F_X(x)= \left { \begin{matrix} 0 & x \le 0 \ x^2-2x^2\ln x & 0 \lt x \le 1 \ 1 & x \gt 1 \end{matrix} \right . $$

次に、分散を求める。分散の定義は

$$V(X)=E[X^2] - (E[X])^2$$

期待値 $E[X]$ を計算する

$$\begin{align} E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx \ &= \int_0^1x(-4x\ln x)dx \ &= -\int_0^1 4x^2\ln xdx \end{align}$$

部分積分を用いて

$$\begin{matrix} u=\ln x & dv=4x^2dx \ du=\frac{1}{x} & v=\frac{4}{3}x^3 \end{matrix}$$

したがって

$$\begin{align} E[X] &= -([\frac{4}{3}x^3\ln x]_0^1-\int_0^1\frac{4}{3}x^3\frac{1}{x}dx) \ &= -(-\frac{4}{9}x^3\mid_0^1) \ &= \frac{4}{9} \end{align}$$

$E[X^2]$ の計算

$$\begin{align} E[X^2] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^2f_X(x)dx \ &= \int_0^1x^2(-4x\ln x)dx \ &= -4\int_0^1x^3\ln xdx \end{align}$$

部分積分を用いて

$$\begin{matrix} u=\ln x & dv=x^3dx \ du=\frac{1}{x} & v=\frac{1}{4}x^4 \end{matrix}$$

したがって

$$\begin{align} E[X^2] &= -4 \times ([\frac{1}{4}x^4\ln x]_0^1-\int_0^1\frac{1}{4}x^3dx) \ &= -4 \times (-\frac{1}{16}x^4\mid_0^1) \ &= \frac{1}{4} \end{align}$$

だから

$$\begin{align} V(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \ &= \frac{1}{4} - (\frac{4}{9})^2 \ &= \frac{17}{342} \end{align}$$

4

ある製造ラインで生産された製品は1/1000の確率で不良品である。不良品を99/100の確率で正しく不良品と判定し、かつ、不良品でないものを4/5の確率で正しく不良品ではないと判定する検査手法がある。この製造ラインにおいて、この手法が不良品と判定した製品が、不良品である確率を求めよ。

不良品である確率：$P(A)=\frac{1}{1000}$、不良品と判定する確率：$P(B)$

これより

$$\begin{matrix} p(\bar{A})=\frac{999}{1000} & P(B\mid A)=\frac{99}{100} & P(B\mid \bar{A})=\frac{1}{5} \end{matrix}$$

したがって

$$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\bar{A})P(B\mid \bar{A})=\frac{20079}{100000}$$

ベイズの定理を用いると

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{99}{20079}$$

以上より、不良品である確率は $\frac{99}{20079}$

5

あるカジノで、4個のパケットA,B,C,Dに区切られたルーレットがある。カジノの説明ではそれぞれのパケットにボールが入る確率は同じであるとされている。そのルーレットを5回試行したところ、ボールはパケットAに4回入った。カジノの説明とは異なる「このルーレットはボールがポケットAにより入りやすい」という仮設を、有意水準5％で検定せよ。解答には帰無仮説 $H_0$ 、対立仮説 $H_1$ を明記すること。

$H_0$：ポケットAにボールが入る確率は他のポケットと同じである。すなわち

$$P(A)=\frac{1}{4}$$

$H_1$ ：ポケットAにボールが入る確率は他のポケットより高い。すなわち

$$P(A)\gt \frac{1}{4}$$

ボールはポケットAに4回入る確率は

$$P(X=4)=(_4^5) (\frac{1}{4})^4 \times \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

ボールはポケットAに5回入る確率は

$$P(X=5)=(_5^5) (\frac{1}{4})^5=\frac{1}{1024}$$

これより

$$P(X\ge 4)=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{1}{64}$$

この確率は有意水準より小さいため、帰無仮説を棄却する。ゆえに、「このルーレットはボールがポケットAにより入りやすい」という仮設は統計的に有意であると言えます。