引言
日本語のタイトルを書いても、この文章は主に日本語の内容ではありません。時間があれば追加かもしれません
题目一：https://blog.yexca.net/archives/183
题目二：https://blog.yexca.net/archives/187
题目三：本文
全部做下来的感觉就是可能因为是多专业共用的数学试题吧，线代不知道，高数和概率论几乎就是引导这让考生完成某一结论的证明或者了解某项东西。其中高数是弧长参数化，线代是 37% 法则。而如果知道这些结论会很好解出题目，事先没学过的话做出来的人是真厉害。至少让我从零开始那是包挂的
同时因为是已有的理论，解题答案应该是对的，过程嘛，就不知道了 XD
题目
Source: https://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml
题目版权属于东京大学所有，仅为了方便观看而引用，无盈利行为
$n$ 人のアルバイト候補者を面接し、その中の最適任者を採用したい。ただし、$n \ge 2$ とする。候補者にあらかじめ順位 $1$、順位 $2$、$\cdots$、順位 $n$ までの絶対的順位が定まっており、すでに面接した候補者についてはそれらの間の相対的順位が分かるものとする。面接は一人ずつ順に行うが、候補者の現れる順番はランダムに決定され、事前には分からない。採用プロセスでは、すでに面接した候補者の間での相対的順位に基づいて採否の決定が行われ、さらに以下の条件が課される。
- 各候補者の面接の直後に、その候補者の採否を決定する。
- ある候補者の採用が決まった時点で採用プロセスを終了する。
- 過去に不採用にした候補者を採用することはできない。
- $n-1$ 回までの面接で採用しなかったときは、$n$ 番目の候補者を無条件で採用する。
アルバイトの採用において次のような戦略をとる。ただし、$1 < r \le n$ とする。
- $r-1$ 回の面接までは無条件で候補者を不採用にする。
- 以降の面接では、候補者がその $r-1$ 人の中での最良候補（相対的順位 $1$）よりも良ければ採用する。
この戦略で、絶対的順位 $1$ の候補者を採用する確率を $P_{n}(r)$ とする。以下の問いに答えよ。
（１）$P_{4}(2)$ を求めよ。
（２）$P_{10}(3)=\frac{2}{10}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{9})$ となることを示せ。
（３）$n$ 人の候補者に対して、$k$ 回目の面接で絶対的順位 $1$ の候補者を採用する確率を求めよ。ただし、$r \le k \le n$ である。
（４）以下の漸化式において、$A,B$ に入る式を求めよ。
\[P_{n}(r)=A+B\times P_{n}(r+1)\]ただし、$A,B$ には $n,r$ と定数からなる式が入る。
（５）$q=r/n$ とする。$n$ が十分大きいときに $P_{n}(r)$ は $-q\ln(q)$ で近似できることを説明せよ。さらに、$-q\ln(q)$ の最大値を与える $q\in (0,1]$ の値を求めよ。ただし、$\ln$ は自然対数を表す。
中文解答
背景翻译：现希望在面试 $n$ 个候选人后找到最佳人选。其中 $n \ge 2$ 。每个候选者的能力等级是确定的 (最好的、次好的、···、最差的) 。已经面试过的候选者就可以知道这些人的相对等级能力，面试是一个人一个人进行的，但是面试顺序是随机的，事前不知道。招聘中心将对已经面试过的人的相对能力等级而确定录用谁，并满足以下条件
- 每个候补者面试后立即确定是否录用
- 一旦决定录取某人则所有面试结束
- 过去未录用的人不会录用
- 如果只剩一人，前面的人都不合格，则直接录用此人
招聘中心采用以下策略，其中 $1 < t \le n$
- 前 $r-1$ 人的面试直接拒绝
- 之后的面试中，若有人优于前 $r-1$ 中最优的人，则录用
在这个策略中，最好的候选人录取的概率表示为 $P_{n}(r)$，回答以下问题
这题读完之后就想到了毕导的那个如何科学有效脱单视频，和视频中的方法一样，也就是 $37\%$ 法则，题目就是其描述，最后一问就是其求解过程
第一问
题目翻译：求 $P_{4}(2)$
\[\begin{align} P_{4}(2) &=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12} \\ &=\frac{11}{24} \end{align}\]这里的算式是最优秀的人在第二位的概率被选中、最优秀的人在第三位的概率被选中和最优秀的人在第四位的概率被选中。为了选择最优秀的人，需要保证第 $r$ 个人开始到最优秀的人之间的人不能比前面的 $r-1$ 人优秀。这句话有点绕啊，现在分情况讨论
假设最优秀的人是第一人，那直接被淘汰，选中的概率为 $0$
假设最优秀的人是第二人，由于从第二人开始选择是否录用，前面的人不可能比最优秀的人更优秀，所以选中的概率是 $1$
假设最优秀的人是第三人，这时候有两种情况
- 如果第二个人比第一个人优秀，那么最优秀的人不会被录用
- 如果第二个人没第一个人优秀，那么最优秀的人将会被录用
所以该情况选中的概率是 $\frac{1}{2}$
假设最优秀的人是第四人，这时候只有第二优秀的人在第一位才能保证最优秀的被录用 (分情况有六种，太麻烦了不写)，所以该情况选中的概率是 $\frac{1}{3}$
以上四种情况合起来 $P=\frac{1}{4} \times 0+\frac{1}{4} \times 1 +\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$
第二问
题目翻译：证明 $P_{10}(3)=\frac{2}{10}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{9})$
现在假设最优秀的人在第 $m$ 位 ($3 \le m \le 10$)，为了保证选中最优秀的人，前 $m-1$ 个人中最优秀的人要在前两个人中，其概率为 $\frac{2}{m-1}$，所以在 $m$ 范围内选中最优秀的人的概率为
\[\begin{align} P =&\frac{1}{10} \times \frac{2}{2}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{4}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{5}+\\ &\frac{1}{10} \times \frac{2}{6}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{7}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{8}+\frac{1}{10} \times \frac{2}{9} \\ =&\frac{1}{10}(\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}+\frac{2}{6}+\frac{2}{7}+\frac{2}{8}+\frac{2}{9}) \\ =&\frac{2}{10}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}) \end{align}\]当最优秀的人在前两位时无法选中最优秀的人，所以
\[\begin{align} P_{10}(3) &=\frac{1}{10} \times 0 + \frac{1}{10} \times 0 + P \\ &=P \end{align}\]原命题得证
第三问
题目翻译：对于 $n$ 个候选人，求在第 $k$ 次面试中录用最优的候选人的概率，其中 $r \le k \le n$
要想第 $k$ 次面试录取最优秀的人，那么最优秀的人就在第 $k$ 位，为了保证选中最优秀的人，前 $k-1$ 个人中最优秀的人要在前 $r-1$ 人中，其概率为 $\frac{r-1}{k-1}$，所以
\[P=\frac{1}{n} \times \frac{r-1}{k-1}\]第四问
题目翻译：对于以下的渐进式 (公式略) ，求 $A$ 和 $B$。其中 $A,B$ 是用 $n,r$ 和常数的表达式
\[\begin{align} P_{n}(r) &= \frac{1}{n}(\frac{r-1}{r-1}+\frac{r-1}{r+1}+\frac{r-1}{r+2}+\cdots+\frac{r-1}{n-1}) \\ &=\frac{1}{n} \sum_{i=r-1}^{n-1} \frac{r-1}{i} \\ &= \frac{r-1}{n}\sum_{i=r-1}^{n-1}\frac{1}{i} \end{align}\]所以
\[P_{n}(r+1)=\frac{r}{n}\sum_{i=r}^{n-1}\frac{1}{i}\]首先算 $B$
\[\frac{r}{n} \times B = \frac{r-1}{n} \\ B = \frac{r-1}{r}\]然后算 $A$ 因为两者之间缺了 $i=r-1$ 项即 $\frac{r-1}{n} \times \frac{1}{r-1} = \frac{1}{n}$
所以 $A = \frac{1}{n}$
第五问
题目翻译：设 $q=r/n$，当 $n$ 足够大时，解释 $P_{n}(r)$ 可以用 $-q\ln(q)$ 近似。进一步求 $-q\ln(q)$ 的极大值所对应的 $q\in (0,1]$。其中 $\ln$ 表示自然对数
上方已经给出了 $P_{n}(r)$ 的公式，当 $n$ 足够大时
\[\sum_{i=r-1}^{n-1}\frac{1}{i} \approx \int_{r}^{n} \frac{1}{x} = \ln(n)-\ln(r)= \ln(\frac{n}{r})\]所以
\[P_{n}(r) \approx \frac{r}{n}ln(\frac{n}{r}) = q\ln(\frac{1}{q}) = -q\ln(q)\]令 $y=-q\ln(q)$，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} q} = -\ln(q)-1$ 令 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} q}=0$ 得 $q=\frac{1}{e}$
也就是当 $q=\frac{1}{e}$ 时，$-q\ln(q)$ 取最大值
这题我也不大理解，反正近似就对了，具体和毕导视频中的公式也有一点不一样，不想思考了
Wrote with ChatGPT